Question

如图所示，质量为M=400g的铁板固定在一根轻弹簧上方，铁板的上表面保持水平．弹簧的下端固定在水平面上，系统处于静止状态．在铁板中心的正上方有一个质量为m=100g的木块，从离铁板上表面高h=80cm处自由下落．木块撞到铁板上以后不再离开，两者一起开始做简谐运动．木块撞到铁板上以后，共同下降了l₁=2.0cm时刻，它们的共同速度第一次达到最大值．又继续下降了l₂=8.0cm后，它们的共同速度第一次减小为零．空气阻力忽略不计，重力加速度取g=10m/s²．求：

（1）若弹簧的弹力跟弹簧的形变量成正比，比例系数叫做弹簧的劲度系数，用k表示．求本题中弹簧的劲度系数k；

（2）从木块和铁板共同开始向下运动到它们的共同速度第一次减小到零的过程中，弹簧的弹性势能增加了多少？

（3）在振动过程中，铁板对木块的弹力的最小值N是多少？

Answer

（1）k＝50N/m（2）ΔE＝0.66J（3）N＝0.2 N

【解析】（1）M静止时，设弹簧压缩量为l0，则Mg＝kl0        ①--------------(2分)

速度最大时，M、m组成的系统加速度为零，则

(M＋m)g－k(l0＋l1)＝0                   ②--------------(2分)

联立①②解得：k＝50N/m                       ③--------------(2分)

［或：因M初位置和速度最大时都是平衡状态，故mg＝kl1，解得：k＝50N/m］

（2）m下落h过程中，mgh＝mv02               ④--------------(2分)

m冲击M过程中， mv0＝(M＋m)v                  ⑤--------------(2分)

所求过程的弹性势能的增加量：

ΔE＝(M＋m)g(l1＋l2)＋ (M＋m)v2                   ⑥-------(2分)

联立④⑤⑥解得：ΔE＝0.66J                   ⑦--------------(2分)

（用弹性势能公式计算的结果为ΔE＝0.65J也算正确）

（3）在最低点，M、m组成的系统：k(l0＋l1＋l2)－(M＋m)g＝(M＋m)a1    (2分)

在最高点，对m：mg－N＝ma2

根据简谐运动的对称性可知：a1＝a2

解得：a1＝a2＝8m/s2，N＝0.2N                    -----------------(2分)

［或：由简谐运动易知，其振幅A＝l2，

在最低点，kA＝(M＋m)a 1                                             -----------------(2分)

故在最高点对m有mg－N＝m a2       

根据简谐运动的对称性可知：a1＝a2

解得：N＝0.2 N                                   -----------------(2分)