Question

已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为.经过点的直线与椭圆交于两点.

（1）求椭圆方程及离心率.

（2）当直线的倾斜角为时，求线段的长；

（3）记的面积分别为和，求最大值.

Answer

(1) ; (2);(3).

【解析】

（1）由焦点坐标可求出c的值，根据a,b,c的平方关系可求得a的值；（2）写出直线方程，与椭圆方程联立得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得；（3）当直线l的斜率不存在时可求得；当直线l斜率存在时，设出直线方程并与椭圆方程联立得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理用k表示出，，转化为关于的式子，再转化为关于k的表达式，利用基本不等式即可求得最大值.

（1）因为为椭圆的焦点，所以，又，

所以，椭圆方程为，离心率为；

（2）直线l的斜率为且过点，则直线l的方程为，

与椭圆方程联立，得到，

所以，

；

（3）当直线l的斜率不存在时，直线方程为，

此时，，的面积相等，；

当直线l的斜率存在(显然)时，设直线方程为，

设，

直线方程与椭圆方程联立得，消y得，

显然，方程有根，且，，

此时，

，当且仅当时等号成立.

综上所述，的最大值为.