Question

已知函数.

（1）当时，求函数的值域.

（2）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）令，求出的范围，再由指数函数的单调性，即可求出结论；

（2）对分类讨论，分别求出以及的最小值或范围，与的最小值建立方程关系，求出的值，进而求出的取值关系.

（1）当时，，

令，

∵∴，

而是增函数，∴，

∴函数的值域是.

（2）当时，则在上单调递减，

在上单调递增，所以的最小值为，

在上单调递增，最小值为，

而的最小值为，所以这种情况不可能.

当时，则在上单调递减且没有最小值，

在上单调递增最小值为，

所以的最小值为，解得（满足题意），

所以，解得.

所以实数的取值范围是.