Question

设二次函数.

（Ⅰ）若，且在上的最大值为，求函数的解析式；

（Ⅱ）若对任意的实数，都存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）或

【解析】

（Ⅰ）由，则，由在上的最大值为，可得，可得的值，可得函数的解析式；

（Ⅱ）只需当时， .设，，则只需 对任意的实数都成立，分的取值范围进行讨论可得答案.

【解析】
（Ⅰ）若，则，

当时

故 解得 ，故.

（Ⅱ）由题意得：只需当时， .

设，，则只需 对任意的实数都成立.

（1）当=0时，，此时 不成立.

（2）当时，在递增，故恒成立，故.

（3）当时，在递增，故恒成立，故，舍去.

（4）当时，在上递减，在上递增，

若，则恒成立，故，舍去.

若，则恒成立，故，舍去.

（5）当时，在上递减，故恒成立.

综上：，或.