Question

如图三棱柱，为菱形，，，为的中点，平面平面.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若直线与平面所成角为，求二面角所成角的正弦值

Answer

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取的中点，连接，可得，可得，同时由，可得，可得；

（Ⅱ）过作的垂线，垂足为，连接，可得即为二面角所成角，同时由题意可得，，设设，则，，，可得的值，即二面角所成角的正弦值为.

【解析】
（Ⅰ）取的中点，连接，由可得：,

故：

由,可得，

同时易得：,,可得

故：

由

故；

（Ⅱ）过作的垂线，垂足为，连接，

易得：,且，

同时由直线与平面所成角为，，可得，

为等腰直角三角形，,

可得：，

则即为二面角所成角.

设，则，，

在中，可得：

可得：,

即二面角所成角的正弦值为.