Question

已知在上的函数满足如下条件：①函数的图象关于轴对称；②对于任意，；③当时，；④函数，，若过点的直线与函数的图象在上恰有8个交点，则直线斜率的取值范围是(    )

A. B. C. D.

Answer

A

【解析】

根据条件分别判断函数的周期性，奇偶性以及函数在一个周期上的图象，利用函数与图象之间的关系，利用数形结合进行求解即可．

∵函数f（x）的图象关于y轴对称，

∴函数f（x）是偶函数，

由f（2+x）﹣f（2﹣x）=0得f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），

即f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，

若x∈[﹣2，0]，则x∈[0，2]，

∵当x∈[0，2]时，f（x）=x，

∴当﹣x∈[0，2]时，f（﹣x）=﹣x，

∵函数f（x）是偶函数，

∴f（﹣x）=﹣x=f（x），

即f（x）=﹣x，x∈[﹣2，0]，

则函数f（x）在一个周期[﹣2，2]上的表达式为f（x）=，

∵f（n）（x）=f（2n﹣1•x），n∈N*，

∴数f（4）（x）=f（23•x）=f（8x），n∈N*，

故f（4）（x）的周期为，其图象可由f（x）的图象压缩为原来的得到，

作出f（4）（x）的图象如图：

易知过M（﹣1，0）的斜率存在，

设过点（﹣1，0）的直线l的方程为y=k（x+1），设h（x）=k（x+1），

则要使f（4）（x）的图象在[0，2]上恰有8个交点，

则0＜k＜kMA，

∵A（，0），

∴kMA==，

故0＜k＜，

故选A．