Question

等差数列，，存在正整数，使得，，若集合有4个不同元素，则的可能取值有______个.

Answer

4

【解析】

由题意得为周期数列，集合有4个不同元素，得，在分别对取值讨论即可.

设等差数列的首项为，公差为，则，，

由题意，存在正整数，使得，又集合有4个不同元素，得，

当时，，即，

，或（舍），

，取，则，在单位圆上的4个等分点可取到4个不同的正弦值，即集合可取4个不同元素；

当，，即，

，在单位圆上的5个等分点不可能取到4个不同的正弦值，故舍去；

同理可得：当，，，集合可取4个不同元素；

当时，，单位圆上至少9个等分点取4个不同的正弦值，必有至少3个相等的正弦值，不符合集合的元素互异性，故不可取应舍去.

故答案：4.