Question

若，为自然数，则下列不等式：①；②；③，其中一定成立的序号是__________．

Answer

①③.

【解析】

对于①根据不等式,作差并构造函数,利用导数证明函数的单调性即可比较大小;对于不等式②,根据移项变形,构造函数,通过求即可判断函数的单调性,比较大小即可;对于③,构造函数,利用换底公式,求导即可判断函数的单调性,进而比较大小即可.

对于①若成立.两边同时取对数可得

,化简得

因为

则,不等式两边同时除以可得

令,

则

当时, ,所以

即在内单调递增

所以当时,即

所以

故①正确

对于②若,化简可得

令,

则

由可知在内单调递增

而

所以在内先负后正

因而在内先递减,再递增,所以当时无法判断与的大小关系.故②错误.

对于③,若

令

利用换底公式化简可得,

则

当时,

所以,即

则在内单调递减

所以当时,

即

所以③正确

综上可知,正确的为①③

故答案为: ①③