Question

如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，为的中点，点在上，平面，在的延长线上，且.

(1)证明:平面.

(2)过点作的平行线，与直线相交于点，点为的中点，求到平面的距离.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点为，连接，过作交于，连接，通过证明四边形是平行四边形，得，证得线面平行；

（2）考虑三棱锥的体积，利用等体积法求出到平面的距离为，到平面的距离是到平面的距离的一半，即可得解.

（1）证明:记的中点为，连接，过作交于，连接，

则，且.

因为平面，所以.

在中，，，易求，.

又，则.

因为，所以.

因为，且，所以四边形是平行四边形，

所以，又平面，平面，

所以平面.

（2）因为平面，所以，而是正方形，所以.

因为与显然是相交直线，所以平面，

所以平面平面.

记的中点为，连接，，则平面，且.

因为点为的中点，所以，，，

在中，，，，所以.

，所以，

而三棱锥的体积.

记到平面的距离为，

则，所以.

因为到平面的距离是到平面的距离的一半，

所以到平面的距离为.