Question

在平面直角坐标系中，椭圆E：（）的长轴长为4，左准线l的方程为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线过椭圆E的左焦点，且与椭圆E交于A，B两点.

①若，求直线的方程；

②过A作左准线l的垂线，垂足为，点，求证：，B，G三点共线.

Answer

（1）（2）①或，②证明见解析

【解析】

（1）根据长轴的值和准线的方程，可求得，的值，结合，从而可求出椭圆的标准方程；
（2）①设，，作，根据椭圆的第二定义可得，结合，可推出，从而推出，根据，可得，分别对直线的斜率存在与不存在进行讨论，结合韦达定理即可求得直线的方程；

②当直线的斜率不存在时，分别求出，，即可得证；当直线的斜率存在时，分别求出，，结合韦达定理即可求证.

（1）由题，，，∴，

∴，椭圆方程.

（2）①设，

作，由第二定义，，而

∴，同理

∴，即，②证明见解析

设的斜率为k

1°若k不存在，即（舍）

2°若k存在，：

联立

消去y，（*），恒成立

∴，即，∴：或

②证明1°若的斜率不存在，，，，，，

∴，B，G三点共线.

2°若的斜率存在，，，

要证，B，G共线.即证，即，即

即，即

由（*），

代入上式：，即显然成立。

∴，B，G三点共线.

综上所述，，B，G三点共线.