Question

已知函数，（为自然对数的底）．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若存在均属于区间的，，且，使，证明：；

（Ⅲ）对于函数与定义域内的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的分界线．试探究当时，函数与是否存在“分界线”？若存在，请给予证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）见解析；

（Ⅱ）见解析；

（Ⅲ）见解析.

【解析】

(Ⅰ)由题意首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；

(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论首先确定的范围，然后结合函数的解析式和函数的单调性即可证得题中的不等式；

(Ⅲ)首先求得函数的最小值，然后结合题意猜出k,e的值并进行证明即可.

（Ⅰ）函数的定义域为，

且

当时，，则函数在上单调递增；

当时，，，

∴在上单调递增，在上单调递减．

（Ⅱ），由（1）知，

又，，所以，

∴，即，

所以．

（Ⅲ）设，

则

则当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．

∴是函数的极小值点，也是最小值点，

∴．

∴函数与的图象在处有公共点．

设与存在“分界线”且方程为，

令函数

①由，得在上恒成立，

即在上恒成立，

∴，即，

∴，故．

②下面说明：，即恒成立．

设，则

∵当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

∴当时，取得最大值0，．

∴成立．

综合①②知，且，

故函数与存在“分界线”，

此时，．