Question

已知直三棱柱中，，，是的中点，是上一点，且.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角余弦值的大小.

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）在中，由面积相等得到，直角三角形中，得到，由得，易得，从而得到平面.以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出面法向量为，面法向量为，从而得到二面角的余弦值.

连接，在中，

故.

由于三棱柱是直三棱柱，故平面，

直角三角形中，因为，，

所以所以，

又因为直角，即.

再由为中点并且为等腰三角形可知，

结合，得平面，.

综合，，，得到平面.

由于，如图以点为坐标原点建立空间直角坐标系，

，故，，，，

,,

设面法向量为，

面法向量为，

，取，得，

，取，得，

则二面角的余弦值.