Question

已知函数,函数．

⑴若的定义域为,求实数的取值范围；

⑵当,求函数的最小值；

⑶是否存在实数,使得函数的定义域为,值域为？若存在,求出的值；若不存在,则说明理由．

Answer

（1）；（2）；（3），

【解析】

（1）因为的定义域为，所以对任意实数恒成立.当m=0时显然不满足，当m不为0时，内层函数为二次函数，需要开口向上且判别式小于0，即可满足要求．

（2）x∈[-1，1]时，求函数是一个复合函数，复合函数的最值一般分两步来求，第一步求内层函数的值域，第二步研究外层函数在内层函数值域上的最值，本题内层函数的值域是确定的一个集合，而外层函数是一个系数有变量的二次函数，故本题是一个区间定轴动的问题．

(3) 根据函数的单调性，列出方程组 转化为：即m、n是方程的两非负实根，且m＜n.即可得解.

（1）由题意对任意实数恒成立,

∵时显然不满足

∴

∴

（2）令,则

∴

（3）∵

∴ ∴

∴ 函数在[,]单调递增,

∴ 又∵

∴ ，