Question

在四棱锥中，底面为菱形，，,,且平面平面，为中点.

（1）求证；

（2）求二面角的正弦值的大小.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）取中点E，连接,,，根据题目所给的条件，利用勾股定理判定直线垂直即可（2）分别以为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小即可.

取中点E，连接,,,

,

平面平面, 是交线，

平面，

，

在Rt中，由知

，

在中，由余弦定理可得：

，

故有,

（2）连接，在中，

由余弦定理得：，

所以,

所以，

如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，

则,

,

设平面与平面的法向量分别为，，

则, 即，令，则，

，

由, 得，令，则，

，

设二面角的大小为，

则，

，

故二面角的正弦值的大小为.