Question

设数列的前项和，是常数且.

（1）证明：是等差数列；

（2）证明：以为坐标的点落在同一直线上，并求直线方程；

（3）设，是以为圆心，为半径的圆，求使得点都落在圆外时，的取值范围.

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析，直线方程为；

（3）

【解析】

（1）根据求得的通项公式，即可证明.

（2）当时，，，可去研究与所在直线的斜率是否相等，若相等，则说明都落在同一条直线上，继而根据点斜式写出此直线的方程．

（3）点在圆外的条件是点到圆心的距离大于半径．由已知列出关于的不等式组，解不等式即可．

【解析】
（1）由题意，

当时，，

当时，

有

当时，也成立

因此，当时，有

是以为首项，为公差的等差数列

（2），对于，有

所以所有的点都落在通过且以为斜率的直线上，此直线方程为，即

（3）当时，的坐标为，使都落在圆外的条件是

，即，

由不等式①，得

由不等式②，得或

由不等式③，得或

再注意到，，

故使、、都落在圆外时，的取值范围是．