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已知函数. (1)解不等式; (2)记函数的最大值为,若,证明:.

已知函数

1)解不等式

2)记函数的最大值为,若,证明:

 

(1);(2)证明见解析 【解析】 (1)将函数整理为分段函数形式可得,进而分类讨论求解不等式即可; (2)先利用绝对值不等式的性质得到的最大值为3,再利用均值定理证明即可 (1)由题,, ①当时,恒成立,所以; ②当时,即,所以; ③当时,显然不成立,所以不合题意: 综上所述,不等式的解集为 (2)由(1)知,于是, 由基本不等式可得, 当且仅当时取等,所以
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在直角坐标系中,圆的普通方程为.在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为

1)写出圆的参数方程和直线的直角坐标方程;

2)设点上,点Q在上,求的最小值及此时点的直角坐标.

 

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已知函数(其中为自然对数的底数).

1)求的单调性;

2)若,对于任意,是否存在与有关的正常数,使得成立?如果存在,求出一个符合条件的;否则说明理由.

 

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东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便,越来越多的市民选择乘坐轻轨出行,很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站,将车停放在轻轨站停车场,然后进站乘轻轨出行,这给轻轨站停车场带来很大的压力.某轻轨站停车场为了解决这个问题,决定对机动车停车施行收费制度,收费标准如下:4小时内(含4小时)每辆每次收费5元;超过4小时不超过6小时,每增加一小时收费增加3元;超过6小时不超过8小时,每增加一小时收费增加4元,超过8小时至24小时内(含24小时)收费30元;超过24小时,按前述标准重新计费.上述标准不足一小时的按一小时计费.为了调查该停车场一天的收费情况,现统计1000辆车的停留时间(假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次),得到下面的频数分布表:

(小时)

频数(车次)

100

100

200

200

350

50

 

以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率.

1)现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研,记录并统计了停车时长与司机性别的列联表:

 

合计

不超过6小时

 

30

 

6小时以上

20

 

 

合计

 

 

100

 

 

完成上述列联表,并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关?

2)(i表示某辆车一天之内(含一天)在该停车场停车一次所交费用,求的概率分布列及期望

ii)现随机抽取该停车场内停放的3辆车,表示3辆车中停车费用大于的车辆数,求的概率.

参考公式:,其中

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.780

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

 

 

 

 

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如图,在四棱锥中,已知四边形是边长为的正方形,点在底面上的射影为底面的中心点,点在棱上,且的面积为1.

1)若点的中点,求证:平面平面

2)在棱上是否存在一点使得二面角的余弦值为?若存在,求出点的位置;若不存在,说明理由.

 

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如图,在中,内角所对的边分别为,且

1)求角A的大小;

2)若边上的中线的长为7,求的面积.

 

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