Question

设F₁、F₂分别为椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆C的左顶点，点B为椭圆C的上顶点，且|AB|＝，△BF₁F₂为直角三角形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线y＝kx+2与椭圆交于P、Q两点，且OP⊥OQ，求实数k的值．

Answer

（1） ；（2）

【解析】

（1）利用勾股定理a2+b2＝3，利用焦点三角形为直角三角形可知b＝c，结合b2+c2＝a2可求出，进而可得椭圆C的方程；

（2）联立直线与椭圆方程，可得关于x的一元二次方程，利用直线与椭圆有交点可知，结合韦达定理及OP⊥OQ，转化为向量数量积为零，计算即得结论．

（1）由题可知，所以a2+b2＝3，因为△BF1F2为直角三角形，所以b＝c，

又b2+c2＝a2，所以，所以椭圆方程为：．

（2）由，得：（1+2k2）x2+8kx+6＝0，

由△＝（8k）2﹣4（1+2k2）•6＞0，得：，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有 ，

因为OP⊥OQ，所以

＝，

所以k2＝5，满足，所以．