Question

已知椭圆的左焦点为，过的直线交椭圆于两点，为左准线上一点，直线的方向向量分别为.

（1）求证：成等差数列；

（2）能否成等比数列？试述理由.

Answer

（1）见解析（2）当点的纵坐标与直线斜率的倒数之积为时，成等比数列.

【解析】

（1）设，与椭圆的方程联立，

消去化简得.

设.则.

又，

故.

则

.

因此，成等差数列.

容易验证，当为长轴两端点时，结论仍成立.

（2）若成等比数列，则.

故.

整理为，即.

解得.

所以，当点的纵坐标与直线斜率的倒数之积为时，成等比数列.