Question

已知数列的前项和为，且满足.

（1）求数列的通项.

（2）若，求数列的最大值项.

（3）对于（2）中数列，是否存在？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，说明理由.

Answer

（1）（2）（3）数列中存在唯一相等的两项.

【解析】

（1）由，知.

当时，.

化简得.

以代替得.

两式相减得.

则.

故为等差数列.

又由，知.

（2），考虑时，的取值范围.

注意到，即.

则.

当时，

.

因此，当，即时，有.

又通过比较的大小知.

所以，数列满足.①

因此，数列的最大值项为.

（3）显然，.

由知，当时，.

再由式①可知，若数列存在相等两项，只能是与后面的项可能相等.

又，即第2项与第8项相等.

再由式①知，仅有第8项与第2项相等.

而，故由式①知，与第3项相等的项不存在.

因此，数列中存在唯一相等的两项.