Question

已知函数，当时，的极大值为7；当时，有极小值.求

（1）的值；

（2）求函数在上的最小值.

Answer

（1）a＝﹣3，b＝﹣9，c＝2；（2）f（x）最小值＝﹣25，f（x）最大值＝2.

【解析】

（1）因为当x＝﹣1时，f（x）有极大值，当x＝3时，f（x）有极小值，所以把x＝﹣1和3代入导数，导数都等于0，就可得到关于a，b，c的两个等式，再根据极大值等于7，又得到一个关于a，b，c的等式，三个等式联立，即可求出a，b，c的值．

（2）先求出函数f（x）的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值．

（1）∴f（x）＝x3+ax2+bx+c

∵f′（x）＝3x2+2ax+b

而x＝﹣1和x＝3是极值点，

所以，解之得：a＝﹣3，b＝﹣9

又f（﹣1）＝﹣1+a﹣b+c＝﹣1﹣3+9+c＝7，故得c＝2，

∴a＝﹣3，b＝﹣9，c＝2；

（2）由（1）可知f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+2，

∴f′（x）＝3x2﹣6x﹣9＝3（x﹣3）（x+1），

令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜﹣1，

令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜3，

∴函数f（x）在[0，3]递减，在[3，4]递增，

∴f（x）最小值＝f（3）＝﹣25．

而f（4）＝-18，f（0）＝2，

∴f（x）最大值＝2.