Question

设，，，是球面上四点，已知，，球的表面积为，则四面体的体积的最大值为 （    ）

A.     B.     C.     D.

Answer

A

【解析】

首先根据题中所给的条件，确定出是以为斜边的等腰直角三角形，从而求得的外接圆的半径为，再根据球的表面积求得球的半径，从而求得球心到截面的距离，再利用三棱锥的体积公式分析得出四面体的体积取最大值时顶点的位置，从而求得结果.

根据条件，可得，

所以是以为斜边的等腰直角三角形，

所以的外接圆的半径为，

又因为球的表面积为，所以有，解得，

从而能够求得球心到截面ABC的距离为，

此时四面体的底面的面积为，

可以确定点D到底面ABC的距离的最大值为，

所以四面体的体积的最大值为，

故选A.