Question

如图，四边形是矩形，，，且，，

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

（1）根据勾股定理，求得AC长度，结合FA,FC长度，从而证明FAAC，又由FABA,故FA平面ABCD;

（2）建立空间直角坐标系，根据条件求出平面和平面的法向量，利用法向量夹角余弦值可得二面角余弦值.

【解析】
（1）∴，

∴，即，

∴，即.

∵四边形为矩形，∴.

∵，，，

∴.

（2）∵，，∴，

∵，，∴，

∴，，两两互相垂直，

建立如图空间直角坐标系，则，，，，，

∴，

∵，

∴平面的一个法向量

设平面的一个法向量为，则

，即，

取，则，，，

∴，

∴二面角的余弦值为.