Question

已知定义域为的函数是奇函数.

(1) 求实数的值；

(2) 判断并用定义证明该函数在定义域上的单调性；

(3) 若方程在内有解，求实数的取值范围．

Answer

（1）1；（2）见解析；（3）[-1，3）.

【解析】

(1)根据解得，再利用奇偶性的定义验证，即可求得实数的值；(2)先对分离常数后，判断出为递减函数，再利用单调性的定义作差证明即可；(3)先用函数的奇函数性质，再用减函数性质变形，然后分离参数可得，在内有解，令，只要.

（1）依题意得，，故，此时，

对任意均有，

所以是奇函数，所以.

（2）在上是减函数，证明如下：任取，则

所以该函数在定义域上是减函数．

（3）由函数为奇函数知，

，

又函数是单调递减函数，从而，

即方程在内有解，

令，只要，

， 且，∴

∴当时，原方程在内有解．