Question

设为实数，函数．

（1）若，求的取值范围；

（2）讨论的单调性；

（3）当时，讨论在区间内的零点个数．

Answer

(1) .

(2) 在上单调递增，在上单调递减.

(3) 当时，有一个零点；当时，有两个零点.

【解析】

试题分析：（1）先由可得，再对的取值范围进行讨论可得的解，进而可得的取值范围；（2）先写函数的解析式，再对的取值范围进行讨论确定函数的单调性；（3）先由（2）得函数的最小值，再对的取值范围进行讨论确定在区间内的零点个数．

试题解析：（1），因为，所以，

当时，，显然成立；当，则有，所以.所以.

综上所述，的取值范围是.

（2）

对于，其对称轴为，开口向上，

所以在上单调递增；

对于，其对称轴为，开口向上，

所以在上单调递减.

综上所述，在上单调递增，在上单调递减.

（3）由（2）得在上单调递增，在上单调递减，所以.

(i)当时，，

令，即（）.

因为在上单调递减，所以

而在上单调递增，，所以与在无交点.

当时，，即，所以，所以，因为，所以，即当时，有一个零点.

(ii)当时，，

当时，，，而在上单调递增，

当时，.下面比较与的大小

因为

所以

结合图象不难得当时，与有两个交点.

综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点.