Question

若对任意的，存在实数，使恒成立，则实数的最大值为__________．

Answer

9

【解析】分析：对任意的x∈[1，5]，存在实数a，使恒成立，．令f（x）=+a，x∈[1，4]．（b＞0）．f′（x）=1﹣==．对b分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

详【解析】
对任意的，存在实数，使恒成立，

即

令f（x）=+a，x∈[1，4]．（b＞0）．

f′（x）=1﹣==．

对b分类讨论：

≥4时，函数f（x）在x∈[1，4]上单调递减：f（1）=1+a+b，f（4）=4++a，即，解得，舍去．

1＜＜4时，函数f（x）在x∈[1，）上单调递减，在（，4]上单调递增．f（）=2+a=﹣2，f（4）=4++a≤2，f（1）=1+a+b≤2，

其中必有一个取等号，解得b=9，a=﹣8．

0＜≤1时，不必要考虑．

综上可得：b的最大值为9．

故答案为：9．