Question

已知函数 (， 为自然对数的底数).

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.

Answer

（1）见解析（2）的最大值为1.

【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据a的正负讨论导函数符号变化规律，最后根据导函数符号确定极值，（2）先将无交点转化为方程在上没有实数解，转化为在上没有实数解，再利用导数研究取值范围，即得，即得的取值范围是，从中确定的最大值.

试题解析：（Ⅰ） ，

①当时， ， 为上的增函数，所以函数无极值.

②当时，令，得， .

， ； ， .

所以在上单调递减，在上单调递增，

故在处取得极小值，且极小值为，无极大值.

综上，当时，函数无极小值；

当， 在处取得极小值，无极大值.

（Ⅱ）当时， .

直线与曲线没有公共点，

等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程：

在上没有实数解.

①当时，方程可化为，在上没有实数解.

②当时，方程化为.

令，则有

令，得，

当变化时， 的变化情况如下表：

-1

-

0

+

↘

↗

当时， ，同时当趋于时， 趋于，

从而的取值范围为.

所以当时，方程无实数解，

解得的取值范围是.

综上，得的最大值为1.