Question

已知椭圆中心在坐标原点O，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M（2，1），直线平行OM，且与椭圆交于A、B两个不同的点。

(Ⅰ)求椭圆方程；

(Ⅱ)若AOB为钝角，求直线在轴上的截距的取值范围；

(Ⅲ)求证直线MA、MB与轴围成的三角形总是等腰三角形。

Answer

（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；(Ⅲ)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）设椭圆方程 ，利用长轴长是短轴长的2倍，且经过点M（2，1），建立方程组，即可求得椭圆方程；（2）设l方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及∠AOB为钝角，结合向量知识，即可求直线l在y轴上的截距m的取值范围；（3）依题即证kAM+kBM=0，利用韦达定理代入，即可证得结论．

解析：

（1）【解析】
设椭圆方程，依题意可得可得 所以椭圆方程为

（2）【解析】
设l方程为： 与椭圆方程联立得：x2+2mx+2m2﹣4=0

由韦达定理得：x1+x2=﹣2m， ；

设A（x1，y1），B（x2，y2），

因为∠AOB为钝角，所以

又直线l平行OM，

（3）证明：依题即证kAM+kBM=0

将直线代入上式得到，得

韦达定理代入得，上式=0.得证。