Question

如图，在三棱锥中， 两两垂直且相等，过的中点作平面∥，且分别交PB，PC于M、N，交的延长线于．

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）运用线面垂直的判定和性质定理，以及线面平行的性质定理，即可得证；
（Ⅱ）以CA，CB，CP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，并设BC=2，求出点A，B，P，D，E，F的坐标，设平面PAB的法向量和平面DEF的法向量，由向量垂直的条件：数量积为0，即可得到法向量，再由向量的夹角公式，即可得到所求二面角的余弦值．

解析：

（1）证明：由BC⊥PC，BC⊥AC可知：BC⊥平面PAC，

又因为平面α∥BC，平面AEF过BC且与平面α交于EF，

所以EF∥BC．故EF⊥平面PAC；

（2）以CA，CB，CP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

并设BC=2．则A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），

设平面PAB的法向量，

D（1，0，1），E（﹣1，3，0），F（﹣1，0，0），

设平面DEF的法向量，

二面角P﹣DM﹣N的余弦值为．