Question

如图，在底面是菱形的四棱锥中, 平面， ，点分别为的中点，设直线与平面交于点.

（1）已知平面平面，求证： .

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析（2）.

【解析】试题分析：（1）由三角形中位线定理可得,利用线面平行的判定定理可得平面,在根据线面平行的性质定理可得；（2）由勾股定理可得 ， ∵平面，由此可以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用两直线垂直数量积为零列出方程组，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式.

试题解析：（1）∵, 平面, 平面.

∴平面,

∵平面,平面平面

∴.

（2）∵底面是菱形， 为的中点 ∴

∴ ∵平面，则以点为原点，直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系则

∴， ，

设平面的法向量为，有得

设，则，

则解之得，∴，

设直线与平面所成角为

则

∴直线与平面所成角的正弦值为.

【方法点晴】本题主要考查线面平行的性质与判定以及利用空间向量求线面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.