Question

如图，已知椭圆： 的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆： ，设圆与椭圆交于点与点．

（1）求椭圆的方程；

（2）求的最小值，并求此时圆的方程；

（3）设点是椭圆上异于, 的任意一点，且直线分别与轴交于点， 为坐标原点，求证： 为定值．

Answer

（1）；（2）， ；（3），证明见解析．

【解析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率以及圆的方程，求出的值，进而可得到椭圆的方程；（2）先设出点的坐标，并表示出，再根据, 在椭圆上，即可求出的最小值，进而可求出此时圆的方程；（3）先设出点的坐标，并写出直线的方程，进而得到的表达式，再根据点 在椭圆上，即可证得为定值．

试题解析：（1）依题意，得， ，；

故椭圆的方程为

（2）方法一：点与点关于轴对称，设，， 不妨设．

由于点在椭圆上，所以． （*）

由已知，则，，

由于，故当时， 取得最小值为．

由（*）式，，故，又点在圆上，代入圆的方程得到

故圆的方程为： ．

方法二：点与点关于轴对称，故设，

不妨设，由已知，则

故当时， 取得最小值为，此时，

又点在圆上，代入圆的方程得到．

故圆的方程为： ．

(3) 方法一：设，则直线的方程为：，

令，得， 同理：，

故（**）

又点与点在椭圆上，故，，

代入（**）式，得：．

所以为定值．

方法二：设，不妨设，，其中．则直线的方程为：，

令，得，

同理：，

故．

所以为定值

考点：1、圆锥曲线及其方程；2、平面向量的数量积；3、直线与圆锥曲线的位置关系.

【思路点睛】本题是一个直线与圆锥曲线的位置关系以及平面向量的数量积方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是，对于（1）根据椭圆的离心率以及圆的方程，求出的值，进而可得到椭圆的方程；对于（2）先设出点的坐标，并表示出，再根据, 在椭圆上，即可求出的最小值，进而可求出此时圆的方程；对于（3）先设出点的坐标，并写出直线的方程，进而得到的表达式，再根据点 在椭圆上，即可证得为定值．