Question

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意的，不等式，对恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）求导得，讨论和即可；

（2）对，即恒成立，有，令求最值即可.

试题解析：

(1) ,所以①当，即时， 在上恒成立， 在上单调递增.②当时，由，得（不符合题意，舍），，所以由得，由得， 在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时， 的递增区间为，无递减区间；当时， 的递增区间为 ，递减区间为.

(2) 对，即，

又恒成立，

.

令，则，

又时， ， 在上是减函数， ，即.

点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法

（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.