Question

椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦点到短轴端点的距离为2，离心率为.

（Ⅰ）求该椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆交于， 两点且，是否存在以原点为圆心的定圆与直线相切？若存在求出定圆的方程；若不存在，请说明理由

Answer

（1）椭圆方程为；（2）存在，方程为.

【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何性质可知，椭圆焦点到短轴端点的距离为，即，又离心率，所以，则，所以椭圆方程为；（2）若直线斜率存在时，设直线： ，将直线方程与椭圆方程联立，消去未知数，得到关于的一元二次方程，设， ，然后表示出韦达定理，由于，转化为，即，坐标表示为，于是得到关于的等式，再求原点O到直线AB的距离，与前面的等式联立化简、整理可以得出，最后得到圆的方程.

试题解析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，

∵椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦点到短轴端点的距离为2，离心率为，

∴由题意，且，解得， .

∴所求椭圆方程为.

（Ⅱ）设， ，若存在，则设直线： ，由，得

∴，且，由，知 ，代入得，原点到直线的距离，

当的斜率不存在时， ，得， ，依然成立

∴点到直线的距离为定值.

∴定圆方程为.

方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题时，要注意讨论直线的斜率是否存在，有过直线与圆锥曲线相交涉及到角度问题时，可以用向量表示其角度关系，然后转化为坐标的运算，这是比较常见的考查方式.本题化为，即，最后转化为.