Question

已知数列的前项和为，且满足，求数列的通项公式．勤于思考的小红设计了下面两种解题思路，请你选择其中一种并将其补充完整．

思路1：先设的值为1，根据已知条件，计算出_________， __________， _________．

猜想： _______.

然后用数学归纳法证明．证明过程如下：

①当时，________________，猜想成立

②假设（N*）时，猜想成立，即_______．

那么，当时，由已知，得_________．

又，两式相减并化简，得_____________（用含的代数式表示）．

所以，当时，猜想也成立．

根据①和②，可知猜想对任何N*都成立．

思路2：先设的值为1，根据已知条件，计算出_____________．

由已知，写出与的关系式： _____________________，

两式相减，得与的递推关系式： ____________________．

整理： ____________．

发现：数列是首项为________，公比为_______的等比数列．

得出：数列的通项公式____，进而得到____________．

Answer

2 2

【解析】试题分析：思路1.由于，令，可求出的值，再令 ，可求出的值，再令，可求出的值，利用不完全归纳法，归纳猜想出，再用数学归纳法加以证明, 这是一种“归纳—猜想—证明”思维方式，从特殊到一般的归纳推理方式；思路2.采用构造法直接求出数列得通项公式.

试题解析：思路1.由于，令， ；令 ， ， ，令 ， ，则

，由此猜想 ；下面用数学归纳法证明，证明过程如下：

①当时， ，得 ，符合 ，猜想成立.

②假设（N*）时，猜想成立，即,

那么，当时，由已知，得 ,

又，两式相减并化简，得 ， （用含的代数式表示）．所以，当时，猜想也成立．

根据①和②，可知猜想对任何N*都成立．

思路2. 先设的值为1，根据已知条件，计算出，

由已知，写出与的关系式： ，

两式相减，得与的递推关系式： ，

整理： ，

发现：数列是首项为2，公比为2的等比数列．

得出：数列的通项公式 ，进而得到 ．

【点睛】本题给出了两种求数列通项公式的思维途径，一是构造法，直接利用转化思想解题，通过转化，把普通数列转化为特殊数列（等比数列），借助等比数列的通项公式解题，可以体会到数学的化归与转化思想在解题中的应用价值，二是不完全归纳法求数列的通项公式，这是一种“归纳—猜想—证明”思维方式，从特殊到一般的思维方式，这种归纳思想在探索、研究各科学领域中广为应用.