Question

（本题满分12分）已知

(1)求函数的单调区间；

(2)设，若存在使得成立，求的取值范围。

Answer

(1) 当，在单调递增区间为；时，的递增区间为，递减区间为;(2) [0，＋∞).

【解析】试题分析：（1）含参讨论研究函数的单调性；（2）存在使得成立，即求函数的最大值大于等于零即可，也可以变量分离求最值.

试题解析：

(1) 函数的定义域为

若，恒成立，在上单调递增。

若，令，解得，

令，解得

综上，当，在单调递增区间为；

时，的递增区间为，递减区间为。

(2)当b=1时，f(x)＝ln x－x＋a＋1(x>0)．

原题即为存在x使得ln x－x＋a＋1≥0，

∴a≥－ln x＋x－1，

令g(x)＝－ln x＋x－1，

则g′(x)＝－＋1＝.令g′(x)＝0，解得x＝1.

∵当01时，g′(x)>0，∴g(x)为增函数，

∴g(x)min＝g(1)＝0.

∴a≥g(1)＝0.∴a的取值范围为[0，＋∞)．