Question

已知椭圆的一个焦点为，左，右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于两点.

（I）求椭圆的方程；

（II）记与的面积分别为和，求的最大值.

Answer

（1）；（2）．

【解析】试题分析：（1）根据条件建立参数所满足的方程，解方程组即可求解；（2）设直线方程为，设，直线方程与椭圆方程联立可得，再利用韦达定理及三角形面积公式建立关于的函数表达式 ，求函数最值即可求解．

试题解析：（1）点为椭圆的一个焦点，,又椭圆的方程为．

（2）当直线斜率不存在时，直线方程为，此时与的面积相等，,当直线斜率存在时，设直线方程为，设显然异号，由得，显然，方程有实根，且,此时,

由可得，当且仅当时等号成立，

的最大值为．

考点：1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、韦达定理及椭圆中的最值问题．

【方法点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、韦达定理及椭圆中的最值问题,属于难题．求解最值问题的常见求法：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的最值；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知不等关系建立不等式，从而求出参数的最值；（4）利用基本不等式求出参数的最值，（5）利用函数的值域的求法，确定参数的最值．本题是利用方法（4）求解的最大值的．