Question

已知函数，

（1）求不等式的解集；

（2）若对一切，均有成立，求实数的取值范围.

Answer

【解析】

【解析】试题分析：（1）通过分解因式法进行求解；（2）作差，分离常数，将问题转化为求最值问题，再利用基本不等式求最值．

试题解析：（1）g（x)＝2x2－4x－16＜0，

∴（2x＋4)（x－4)＜0，∴－2＜x＜4，

∴不等式g（x)＜0的解集为{x|－2＜x＜4}．

（2）∵f（x)＝x2－2x－8.

当x＞2时，f（x)≥（m＋2)x－m－15恒成立，

∴x2－2x－8≥（m＋2)x－m－15，

即x2－4x＋7≥m（x－1)．

∴对一切x＞2，均有不等式成立．

而＝（x－1)＋－2

≥2－2＝2（当且仅当x＝3时等号成立)，

∴实数m的取值范围是（－∞，2]．

考点：1.一元二次不等式的解法；2.基本不等式．

【方法点睛】本题考查一元二次不等式的解法、基本不等式的应用以及含参数的不等式恒成立问题，属于中档题；在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往利用“分离参数法”将参数进行分离，使不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，如本题中将“对于恒成立”转化为“对于恒成立”，即求的最小值.