Question

公差不为零的等差数列{a_n}中，a₃＝7，且a₂，a₄，a₉成等比数列．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设b_n＝ ，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）an＝3n－2；（2）.

【解析】试题分析：（1）设数列的公差为d，根据a3=7，又a2，a4，a9成等比数列，可得（7+d）2=（7-d）（7+6d），从而可得d=3，进而可求数列{an}的通项公式；
（2）先确定数列{bn}是等比数列，进而可求数列{bn}的前n项和Sn．

试题解析：

(1)由数列{an}为公差不为零的等差数列，设其公差为d，且d≠0.

因为a2，a4，a9成等比数列，

所以a＝a2·a9，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)，

整理得d2＝3a1d.

因为d≠0，所以d＝3a1.①

因为a3＝7，所以a1＋2d＝7.②

由①②解得a1＝1，d＝3，

所以an＝1＋(n－1)×3＝3n－2.

故数列{an}的通项公式是an＝3n－2.

(2)由(1)知bn＝23n－2，

因为＝＝8，

所以{bn}是等比数列，且公比为8，首项b1＝2，

所以Sn＝＝.