Question

（本题满分12分）已知函数的部分图像如图所示，若函数 的图像与函数的图像关于直线对称。

(1)求函数的解析式；

(2)若关于的方程在区间

上有解，求实数的取值范围；

(3)令，，求函数的值域.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：

(1)利用题意分别求得 可得函数的解析式为；

(2)利用题意结合二次型复合函数的性质可得实数的取值范围是；

(3)整理函数的解析式，结合角的范围可得函数的值域为.

试题解析：

(1)由图可知，，

，，,,

由于，故即.

。

(2)，，即.

又，，

①当时，；

②当时，；

③当时，;

综上，实数的取值范围是

(3) ，

。

又，，，

即，

函数函数的值域为。

点睛：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：

(1)由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.