Question

如图，在四棱锥中，底面是平行四边形， ，侧面底面， 分别为的中点，点在线段上．

（Ⅰ）求证： 平面；
（Ⅱ）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值．

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】试题分析:（Ⅰ）线面垂直的证明，往往利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证，一般从两个方面，一是利用平几知识，如本题经解三角形可得，再根据中点条件得平行条件，从而可得．二是利用线面位置关系有关定理进行转化，如本题利用面面垂直的性质定理可得线面垂直，再根据线面垂直性质定理可得线线垂直.（Ⅱ）解决有关线面角的问题，一般利用空间向量数量积进行处理比较方便，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出面的法向量，再根据向量数量积求出直线向量与法向量夹角余弦值，最后根据线面角与向量夹角之间关系列等量关系，求出比值.

试题解析：

（Ⅰ）证明：在平行四边形中，因为， ，

所以．由分别为的中点，得，

所以．

因为侧面底面，且，所以底面．

又因为底面，所以．

又因为， 平面， 平面，

所以平面．

（Ⅱ）【解析】
因为底面， ，所以两两垂直，

以分别为、、，建立空间直角坐标系，

则，

所以， ， ，

设，则，

所以， ，易得平面的法向量．

设平面的法向量为，由， ，得

令， 得．

因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，

所以，即，所以 ，

解得，或（舍）． 综上所得：

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.