Question

如图，在菱形中， 与相交于点， 平面， .

（I）求证： 平面；

（II）当直线与平面所成的角的余弦值为时，求证： ；

（III）在（II）的条件下，求异面直线与所成的余弦值.

Answer

（I）见解析；（II）见解析；（III）．

【解析】试题分析：

（I）要证与平面垂直，只要证与平面内两条相交直线垂直即可，这由已知线面垂直可得一个，又由菱形对角线垂直又得一个，由此可证；（II）由已知线面垂直得平面，从而知为直线与平面所成的角，从而可得，然后计算出三线段的长，由勾股定理逆定理可得垂直；

（III）取中点，则有，从而可得异面直线所成的角，再解相应三角形可得．

试题解析：

（I）平面 ；

（II）平面直线与平面所成的角而且中， ，过作交于点中中中；

（III）取边的中点，连接且为所求的角或其补角，而在中， 中

异面直线与所成的余弦值为.