Question

已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）设函数，当时， 恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）先求导数，根据导函数是否变号进行讨论：若， ， 在上单调递增；若， 先减后增，（2）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值： 最小值，再利用导数研究函数（）单调性：先减后增，最后确定函数最值，即得实数的取值范围.

试题解析：【解析】
（Ⅰ） ．

①若， ， 在上单调递增；

②若，当时， ， 在上单调递减；

当时， ， 在上单调递增．

（Ⅱ）当时， 恒成立，即，

即恒成立．

令（），则．

令，则．

当时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递增．

又且时， ， ，

所以，当时， ，即，所以单调递减；

当时， ，即，所以单调递增，

所以，所以．

点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.