Question

已知函数（），数列满足，.

（1）求，，；

（2）根据（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；

（3）求证：对一切正整数，.

Answer

（1），，；（2），证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据题意对函数求导，再根据得到，依次求出，，；（2）根据（1）可猜想，再按照数学归纳法的步骤证明即可；（3）先证明当时不等式成立，再证明当时也成立即可.在证明当时，利用,进行裂项相加即可.

试题解析：

【解析】
（1）

（2）猜想，用数学归纳法证明

①当时显然成立。

②假设当猜想成立，则

则当

=

由①②可知对一切成立

（3）当时,；

当时,；

当时,,

此时

综上,对一切正整数,有.

第3问也可用数学归纳法证明，

化简即得。

考点：导函数的求法；数学归纳法；裂项法证明不等式.