Question

已知函数.

（1）当时，求证： ；

（2）当且时，求函数的最小值；

（3）若，证明： .

Answer

（1）见解析（2）的最小值为.（3）见解析

【解析】【试题分析】（1）借助导数运用求函数的最小值满足不等式即可；（2）借助问题（1）的结论进行求解；（3）先不等式进行等价转化，再构造函数运用导数知识分析求【解析】

（1）证明： ，

当时， ，当时， ，

函数在上单调递减，在上单调递增，

所以.

（2）【解析】
当时， ，

由第（1）问的结论可知，此时函数在上单调递增，

，即为且时，函数的最小值为.

（3）证明:由第（2）问的结论可知，当时， ，要证： ，

只需证，即证，

设，

令，则，

函数在上单调递增， ，即，函数在上单调递增，

，综上所述，当时， 且，

所以成了.

点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，旨在考查导数知识在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解本题的第一问时，依据题设借助导数与函数的单调性之间的关系求函数的最小值满足不等式从而使得问题获证；（2）借助问题（1）的结论运用导数的知识进行求解从而获解；（3）先不等式进行等价转化，再构造函数运用导数知识求函数的最小值从而使得问题获证。