Question

已知，曲线在点处的切线方程为.

（1）求的解析式；

（2）研究函数在区间内的零点的个数.

Answer

（1）（2）见解析

【解析】试题分析：

(1)由题意结合切线方程可得函数的解析式为.

(2)函数的零点满足条件，设，，由函数g(x)的性质可得，在内有唯一零点.

试题解析：

【解析】
（1），，.

（2），.

设，，则，

由得，，

当时，，时，，时，，

所以在上增，在上减，在上增，

极大值，极小值，，

∵，，∴.

在内有唯一零点，因此，在内有唯一零点.

点睛：该类问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一.