Question

已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于两点，以线段为邻边作平行四边形，其中点在椭圆上， 为坐标原点，求点到直线的距离的最小值．

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：

(1)由题意可求得， ，∴椭圆的方程为.

(2)首先讨论斜率存在的情况，点到直线的距离的最小值为.

当斜率不存在时额外讨论可得结论.

试题解析：

【解析】
（1）由已知设椭圆的方程为，则.

由，得， ， ，∴椭圆的方程为.

（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为.

则由消去得.

.①

设点， ， 的坐标分别是， ， .

∵四边形为平行四边形，∴，

，

由于点在椭圆上，∴，

从而，化简得，经检验满足①式.

又点到直线的距离为.

当且仅当时，等号成立.

当直线斜率不存在时，由对称性知，点一定在轴上，

从而点的坐标为或，直线的方程为，∴点到直线的距离为1.

∴点到直线的距离的最小值为.