Question

如图，平面平面，四边形是菱形， .

（1）求证： ；

（2）若点为的中点， ，且，求四面体的体积.

Answer

（1）见解析（2）四面体的体积为.

【解析】试题分析：

(1)利用题意首先证得平面，然后由线面垂直的结论结合题意证得.

(2)转化顶点为点B，结合(1)的结论可得四面体的体积为.

试题解析：

【解析】
(1)连接，设，因为平面平面，且交线为，

因为，所以平面， 平面，所以平面平面，四边形是菱形，所以，所以平面，所以，又，所以.

(2)因为点为的中点，所以点到平面的距离是到平面的距离的2倍，所以四面体的体积， ，由（1）知平面.

所以.

所以四面体的体积为.

点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．