Question

已知函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若曲线与有三个不同的交点，求实数的取值范围.

Answer

(Ⅰ) 单调递增区间为，单调递减区间为；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：(Ⅰ)先对函数求导得，然后求出导函数的零点，讨论零点所分区间上导函数的正负，以此来判断函数的单调性，导数为正的区间是对应函数的递增区间，导数为负的区间是对应函数的递减区间；(Ⅱ)先化简得到，然后构造函数，将问题转化为“函数与有三个公共点”.由数形结合的思想可知，当在函数的两个极值点对应的函数值之间时，函数与有三个公共点，那么只要利用函数的导数找到此函数的两个极值即可.

试题解析：(Ⅰ) 2分

令，解得或. 4分

当时， ；当时，

∴的单调递增区间为，单调递减区间为6分

（Ⅱ）令，即

∴

设，即考察函数与何时有三个公共点 8分

令，解得或.

当时，

当时，

∴在单调递增，在单调递减 9分

10分

根据图象可得. 12分

考点：1.函数的单调性与导数的关系；2.二次函数的图像与性质；3.解不等式；4.转化思想；5.数形结合思想；6.分类讨论思想