Question

已知函数．

（Ⅰ）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；

（Ⅱ）设函数，若在上存在极值，求的取值范围，并判断极值的正负．

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ），极值都为正数．

【解析】（Ⅰ）由，得．

即在上恒成立．

设函数， ．

则．

设．

则．易知当时， ．

∴在上单调递增，且．

即对恒成立．

∴在上单调递增．

∴当时， ．

∴，即的取值范围是．

（Ⅱ）， ．

∴ ．

设，则．

由，得．

当时， ；当时， ．

∴在上单调递增，在上单调递减．

且， ， ．

显然．

结合函数图象可知，若在上存在极值，

则或．

（ⅰ）当，即时，

则必定，使得，且．

当变化时， ， ， 的变化情况如下表：

-

0

+

0

-

-

0

+

0

-

↘

极小值

↗

极大值

↘

∴当时， 在上的极值为，且．

∵ ．

设，其中， ．

∵，∴在上单调递增， ，当且仅当时取等号．

∵，∴．

∴当时， 在上的极值．

（ⅱ）当，即时，

则必定，使得．

易知在上单调递增，在上单调递减．

此时， 在上的极大值是，且．

∴当时， 在上的极值为正数．

综上所述：当时， 在上存在极值，且极值都为正数．

【点睛】

第（1）问中，分离参数体现，变形技巧，对导数相关的方程，不等式进行变形，分离参数等，将有利于简化运算。

第（2）问中， 在上存在极值，即在有奇数根。再数形结合和根的存在性定理求解。