Question

已知椭圆，过上一点的切线的方程为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点且斜率不为的直线交椭圆于两点，试问轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）存在点使得.

【解析】试题分析: (I)由直线与椭圆相切，联立方程，有且只有两个相同的实数根，求出 之间的一个关系式，再根据点 在椭圆上，求出 的值，得出椭圆方程；（II）联立直线AB的方程与椭圆方程，求出两根之和，两根之积的表达式，由已知得出PM平分 ,得出直线PA与PB倾斜角互补，它们的斜率和为零，求出 的值.

试题解析：(Ⅰ）由消去并整理得

.

∵椭圆与直线相切，

∴，

化简得，①

又点在椭圆上，∴.②

由①②得， .

∴椭圆的方程为.

（Ⅱ）存在.理由如下：

设直线的方程为，

联立消去并整理得.

.

设， ，则， .

假设存在点满足条件，

由于，所以平分.

易知直线与直线的倾斜角互补，∴，

即，即.（）

将， 代入（）并整理得

，

∴，

整理得，即，

∴当时，无论取何值均成立.

∴存在点使得.

点睛: 本题主要考查了求椭圆方程等相关知识,属于中档题. 本题路: (I)由直线与椭圆相切,联立直线与椭圆方程,消去 ,得到一个关于 的一元二次方程,判别式为零,得到 之间的一个关系式, 再根据点 在椭圆上，求出 的值，得出椭圆方程；（II）设直线AB的方程为 ，联立直线与椭圆方程, 消去 ,得到一个关于 的一元二次方程,求出两根之和，两根之积的表达式，由向量之间的关系得出PM平分 ,所以 , 求出 的值.