Question

如图,已知四边形为直角梯形， ,若是以为底边的等腰直角三角形，且.

（1）证明： 平面；

（2）求直线与平面所成的角的大小.

Answer

(1)见解析;(2) .

【解析】试题分析：

（1）要证与平面垂直，就要证与平面内两条相交直线垂直，由已知与垂直，则有与平面垂直，从而，另外在可计算出的三边长，由勾股定理逆定理可得，从而证得平面；（2）由（1）知两两垂直，因此以他们为轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量与直线的方向向量，由这两个向量夹角与直线与平面所成角的关系可得．

试题解析：

证明：由已知得： ，所以，即

在直角梯形ABCD中， ， ，由是以为底边的等腰直角三角形得：

由，得，

可算得：

所以： ，即PC⊥平面PAD.

（2）如图建系，可得：

, , ,

,

,

设平面PBC的法向量为，则有

,令得： ,

设直线AB与平面PBC所成的角是，

所以直线AB与平面PBC所成的角是.